オプション取引のギリシャ変数への詳細なガイド

ギリシャ人

ギリシャ語（デルタ、ガンマ、シータ、ベガ、ロー）は、オプションポジションのリスクを特定するのに役立つ5つの変数です。

オプションで投資家が直面するリスクは一次元ではありません。変化する市況に対処するために、投資家はこれらの変化の大きさを認識する必要があります。変化が大きいか小さいか、大きなリスクか小さなリスクかを確認するために、オプション理論とオプション価格設定モデルは、投資家にオプションポジションのリスク特性を識別する変数を提供します。これらの変数はギリシャ人と呼ばれます。私たちが監視しているギリシャ人は、デルタ、ガンマ、シータ、ベガ、ローの5つです。

ギリシャ人はブラック&ショールズ方程式の派生物であるため、それについてもう少し説明することから始めます。

ブラック&ショールズ

ブラック、ショールズ、マートンの公式とも呼ばれるブラックとショールズの公式は、価格設定オプションの市場標準ツールです。この公式価格オプションは、現在の株価S ₀、オプションTの満期までの時間、そのストライクX、ボラティリティσ、および金利rの関数として次のようになります。

call = S ⁰ N（d ₁）^{-Xe -rT} N（d ₂）

put = Xe ^-rT N（-d ₂）-S ₀ N（-d ₁）with

ここで、N（x）は、標準正規分布の累積正規分布関数です。つまり、確率変数〜N（0,1）（標準正規分布を使用）がx未満である確率です。

式について説明する前に、基礎となる仮定を述べましょう。ブラックショールズ方程式は次のことを前提としています。

リターンは、正規分布のIID（独立および同一分布）です。
将来のボラティリティは既知であり、一定です。
将来の金利は既知で一定であり、借り入れと貸し出しについても同じです。
在庫経路は継続的であり、継続的な取引が可能です。
取引費用はゼロです。

理論を発展させるために、これらすべての仮定が成り立つと仮定します。この公式は、その仮定の違反に対して非常に堅牢であるため、市場標準です。

デルタ

議論される最初のギリシャ語はデルタです。基本的に、デルタは、原契約の価格の変化に対するオプションの理論値の感度です。より簡単に言えば、デルタは、原資産の価値が1ドル上昇したときのオプションの価値の変化です。例えば：

Δの_コール=∂C/∂S= N（D ₁）とΔが_入れ=∂P/∂S= N（D ₁ 1、 - ）

Nと（D _1をBS式のように）。

株価が上がるとコールオプションの価値が上がるので、コールオプションのデルタは正です。逆に、株価が上がるとプットオプションの価値は下がるので、プットオプションのデルタは負になります。

N（x）は確率密度関数であるため、の値を取ります。その場合、1つの呼び出しのデルタは常に入力され、1つの呼び出しのデルタは入力されます。原資産レベルは通常100株であるため、オプションのデルタに100を掛けます。たとえば、デルタが0.25のオプションは、デルタ25と見なされます。デルタが高いほど、オプションの値の変化は類似します。原株になります。デルタ100のオプションの値は、原株とまったく同じレートで移動します。微分演算は線形であるため、各オプションのデルタを計算し、それらを合計してポートフォリオ全体のデルタを取得できることにも注意してください（もちろん、それは外にある可能性があります）。

オプションが満期に近づくと、そのデルタが変化します。これは、マネーの内外で満了する確率が変化し、正規分布が狭くなり、平均を中心とするためです。オプションの有効期限が近づくと、インザマネーオプションはデルタ100に向かって移動し、アウトオブザマネーオプションはデルタ0に向かって移動します。一方、アットザマネーオプションはデルタ付近に留まります。 50。

原株の価格が変化すると、デルタも変化します。d ₁は株価の関数であるため、これは予想されることです。

コールのデルタ

デルタの実際的な解釈は、ヘッジ比率です。つまり、オプションの方向性リスクを中和するために購入または売却する必要のある株式の量です。BSの公式から、別の解釈を見ることができます。大まかに言えば、オプションのデルタは、お金の中で期限切れになる確率であると言えます。（プットの場合、絶対値を取ります）。ただし、この近似はヨーロッパのオプションでのみ機能します。

要約すると、デルタには3つの解釈があります。

原資産が1ドル増加した場合のオプションの価値の変化。
ヘッジ比率：ポジションの方向性リスクを中和するために売買される株式の数。
オプションが満期時にインザマネーになる可能性

→OTM呼び出し：有効期限が近づくと、デルタは0になる傾向があります。

→ITM呼び出し：時間の経過とともにデルタは100になる傾向があります。

プット対原資産価格のデルタ

デルタ対ボラティリティ

ボラティリティが増加（減少）すると、コールのデルタは0.50に向かって（離れて）行き、プットのデルタは-0.50に向かって（離れて）行きます。したがって、ボラティリティが上昇（減少）すると、マネーオプションのデルタは減少（増加）します。アウトオブザマネーオプションの場合、これは正反対です。

デルタ対時間

時間の経過とともに、コールのデルタは0.50から離れ、プットのデルタは-0.50から離れます。時間が経つにつれて、インマネーコールのデルタは1に向かって移動し、アウトマネーのデルタは0に向かって移動します。

ガンマ

ガンマは、株価の関数としてのデルタの導関数です。デルタは原株の関数としてのオプション値の導関数であるため、ガンマは株価が1ドル上昇したときのデルタの変化です。それは次のように書かれています：

Γ=δ ₂ C /δS ² = N '（D ₁）/ S ₀ σ√T

dが₁ BS式とN」、通常ガウス密度であるガウス累積密度関数の一次導関数、のように：

ガンマ対株価、ガンマ対時間

オプションがATMの場合、ガンマは最大値に達するとよく言われます。これは最初の概算としては正しいですが、株価が行使価格をわずかに下回ると、実際の最大値に達します。この効果は、100ドルで取引されている株式の場合の上の図の左側に示されています。ストライクX、ボラティリティσ、レートr、および満期までの時間Tが与えられた場合、最大ガンマを与える株価は_SmaxΓ = Xe- ^{（r +3σ^ 2/2）T}です。

コールとプットのガンマカーブは同じです。これは、コールとプット一般、特にこれまでのガンマについて私たちが言ったことと一致しています。

満期までの時間が短くなると、アットザマネーオプションのガンマとシータが増加します。有効期限が切れる直前に、これらの変数は劇的に大きくなる可能性があります。

ガンマ対時間

上の図が示すように、グラフは狭くなりますが、グラフの下の表面全体は変化しません。結果として、グラフのトップははるかに高くなります。上部が高いほど、有効期限が短くなるにつれてガンマとシータが増加することを示しています。

ITM、ATM、およびOTM呼び出しの動作により、有効期限が近づくにつれて、デルタ曲線がストライキの周囲で急勾配になることがわかります。したがって、ATMオプションのガンマは時間の経過とともに増加します。ただし、これはOTMおよびITMオプションには当てはまりません。

ガンマは、株価の変化に応じてデルタニュートラルポートフォリオで獲得または失うことができる金額を決定するため、重要なリスクパラメータです。次の例では、原資産の動きの結果としてのオプションポジションの損益を評価します。2.7の一定のガンマを想定するので、デルタは基礎となるドルの動きごとに2.7変化します。

80コールを5.52で1000回購入し、株価は79ドルだとします。デルタニュートラルであるためには、51,100株を売却する必要があります。株価は次のように変化します。



t =	株価
0	79
1	84
2	76
3	79

t = 1およびt = 2で、デルタニュートラルになるようにヘッジを再調整します。t = 3で、ポジションを閉じます。

ポジションの価値の変化を計算する3つの方法

ポジションの価値の変化を計算する3つの方法があります。1つ目はキャッシュフローを使用し、2つ目はデルタを使用し、3つ目はガンマを使用します。

1.キャッシュフローを使用して利益を計算する

以下の表に示すように、最初にキャッシュフローを確認します。2番目の列は、コールに関連するキャッシュフローを示し、3番目の列は私の株式ポジションに関連するキャッシュフローを示しています。最後の行はすべてを合計します。

したがって、最終的には132,300の利益を上げます。オプションが長く、ガンマポジションが長い場合、株価が下がれば株を買い、株価が上がると株を売る（安く買う、高く売る）必要があるので、株価が動けば常に利益を上げます。これがコールとプットの両方に有効であることを自分で確認してください。

2.デルタを使用した利益の計算

ここで、利益を計算する2番目の方法を検討します。取引は同じですが、利益の計算が異なります。その方法では、オプションとストックポジションを同時に考慮します。オプションのヘッジとして株式があるので、デルタポジションの合計を考えてみましょう。デルタニュートラルを開始します。その後、株が移動し、デルタを獲得します。（指定された開始在庫値と終了在庫値の2つの指定されたデルタ間の差を使用して、取得したデルタを計算します。移動中の平均デルタを取得するには、この値を2で割った値を使用します）。ポートフォリオは、以下で説明するように、そのデルタに従って価値が高まります。

この場合、平均デルタ法を使用します。つまり、私たちは：

在庫移動中の平均デルタポジションを計算します。
これに間隔を掛けて、利益を計算します。

時間tで、ヘッジを行って株式を売買し、デルタが再び中立になるようにします。

これをもっと注意深く見てみましょう：

t = 0、株式取引79で、デルタニュートラルポジションを開始します。つまり、51,100株が不足しています。
t = 1で、株式は84で取引されます。オプションポジションのデルタは64.6 * 1000（オプションから）-51100（株式から）です。t = 0とt = 1の間で、私のデルタ位置は0から13,500になりました。その場合、移動の平均デルタは（13,500 + 0）/ 2 = 6750（コールあたり6.75）でした。私のポジションのPnLを計算するために、これらのデルタに株式移動の量を掛けます：6570 * 5 = 33,750ドル。この利益を実現するために、私は再びデルタニュートラルになるように株を売る必要があります。
t = 2で、株式は76で取引されます。私のオプションポジションのデルタは43.0 * 1000であり、私の株式ポジションのデルタは-64600です。

ガンマを使用して利益を計算する例。

3.ガンマを使用して利益を計算する

上記の例では、開始デルタ位置と最終デルタ位置の平均をとることにより、平均デルタ位置を計算しました。ガンマは1ドルあたりのデルタの変化を定義するため、これはガンマを使用して実現することもできます。

方法を明確にしましょう：

t = 0で、株式取引79、デルタニュートラル、ガンマは2,700です。
t = 1で、株式は84で取引されます。株式は5移動したため、新しいデルタポジションは5 * 2,700です。移動の開始時、私のデルタは0だったので、私の平均デルタは5 * 2,700 / 2です。株式は5移動したため、ポートフォリオは5 *平均デルタ= 5 * 5 * 2,700 / 2を獲得しました。ポートフォリオは、デルタが再び0になるようにヘッジされます。これを「ガンマのスキャルピング」と呼びます。ガンマポジションが長いと、安値で買い、高値で売ることができます。
t = 2で、株式は76で取引されます。これは8ドルの動きであり、私の新しいデルタポジションは8 * 2700….

デルタニュートラルポートフォリオから始める場合は、次の一般式を使用できます

。P/ L = pricemove ^ 2 * gamma / 2